Razvoj matematike u 19 . veku

Ako bi se duh matematike od sredine devetnaestog veka mogao opisati jednom rečenicom, onda bi ona verovatno ukazala na „sve veću generalizaciju i sve oštriju samokritičnost". Kako je devetnaesti vek odmicao, matematičari su se sve više pretvarali u graditelje ogromnih i sadržajnih naučnih sistema, u kojima su pojedinačne teoreme bile potpuno podređene veličanstvenim strukturama sveobuhvatnih teorija.

Zlatno doba matematike karakterisala je izrada sve moćnijeg oružja za napad na čitavo mnoštvo starih teškoća, umesto za vođenje pojedinačnih bitki sa njima. To je ono po čemu se kardinalno izdvaja način rada matematičara danas, od onoga koji su najveći matematičari primenjivali sve do prve trećine sedamnaestog veka

U 19.veku matematika je postala veoma apstraktna. Tada je živeo jedan od najvećih matematičara: Karl Fridrih Gaus.

Gaus se rodio 1777. godine, u nemačkom gradu Braunšvajgu i bio je sin nadničara. Vojvoda Braunšvajga obratio je pažnju na mladog vunderkinda i pobrinuo se za njegovo školovanje. Gaus se školovao u Getingenu, a 1799. godine doktorirao je u Helmštatu. Od 1807. godine do smrti (1855) radio je kao direktor opservatorije i profesor univerziteta u svome rodnom mestu.

Iz Gausovih dnevnika vidi se da je u sedamnaestoj godini počeo da dolazi do iznenađujućih otkrića. Na primer, 1795. godine, nezavisno od Ojlera, pronašao je zakon kvadratne recipročnosti (uzajamnosti) u teoriji brojeva. Neka od njegovih ranih otkrića izložena su u njegovoj helmštatskoj disertaciji iz 1799. godine, kao i u njegovim impoznatnim „Aritmetičkim istraživanjima" (Disquisitiones arithmeticae, 1801).

U disertaciji je dat prvi strogi dokaz tzv. ʼosnovne teoreme algebreʼ, u kojoj se tvrdi da svaka algebarska jednačina sa realnim koeficijentima ima najmanje jedan koren, pa prema tome, ima toliko korena koliko iznosi broj jedinica u izložiocu stepena jednačine. Centralno mesto zauzima teorija kvadratnih formi, ostataka i kongruencije drugog stepena. Izuzetna dostignuća su zakon o kvadratnim ostacima ‒ zlatna teorema, koju je prvi u potpunosti dokazao Gaus.

On je podjednako bio oduševljen tom teoremom kao i osnovnom teoremom algebre. Kasnije je objavio još pet dokaza, a jedan je nađen među njegovim papirima posle njegove smrti. „Aritmetička istraživanja" sadrže i Gausove rezultate o podeli kruga, to jest o korenima jednačine.

Tu je došao do izvanredne teoreme, u kojoj se tvrdi da se samo pomoću šestara i lenjira može konstruisati pravilni sedanaestougao, odnosno uopšteno, pravilni n-tougao gde je

"n" prost broj , a k = 0, 1, 2, 3...

što predstavlja zadivljujuće geometrijsko uopštenje u grčkom duhu.

Gaus nije zaboravio svoju prvu ljubav „caricu matematike", već je u periodu kada je sve svoje snage koncentrisao na geodezijske probleme, radio na bikvadratnim reziduumima i o tome je 1825. i 1831. godine objavio radove. To je bio nastavak njegove teorije kvadratnih ostataka, koja je izložena u „Aritmetičkim istraživanjima", ali je ovom prilikom koristio novu metodu: teoriju kompleksnih brojeva.

U radu iz 1831. godine, data je ne samo algebra već i aritmetika kompleksnih brojeva. Tu se pojavljuje nova teorija prostih brojeva, u kojoj tri i dalje ostaje prost broj, ali

5 = (1 + 2i )(1 - 2i )

više nije prost broj. Ta nova teorija kompleksnih brojeva objasnila je mnoge nejasnoće u aritmetici, pošto se zakon kvadratne uzajamnosti ovde dobijao lakše nego u oblasti realnih brojeva. U tom radu Gaus je zauvek odstranio onu tajanstvenost koja je obavijala kompleksne brojeve, uvodeći pojam kompleksnog broja pomoću tačaka u ravni.

Gaus je još 1800. godine otkrio eliptičke funkcije, a oko 1816. godine, vladao je neeuklidskom geometrijom. Bio je nemački matematičar i naučnik koji je dao značajan doprinos u mnogim poljima, uključujući teoriju brojeva, analizu, diferencijalnu geometriju, geodeziju, elektrostatiku, astronomiju i optiku. Poznat kao „princ matematičara" i „najveći matematičar od davnina", Gaus je ostavio trag na mnogim poljima matematike i nauke i smatra se jednim od najuticajnijih matematičara u istoriji.

Gaus je krunisao aritmetiku za „kraljicu matematike". Zahvaljujući njegovom snažnom pronalazačkom duhu došlo je do više dubokih i širokih tokova matematičkog progresa u devetnaestom i dvadesetom veku.

Za Gausa, kao i za Grke, aritmetika je pre svega bila proučavanje osobina celih brojeva. Grci su upotrebljavali različite izraze za računanje i primenu računanja u trgovini. Za ovu praktičnu vrstu aritmetike, aristokratski robovlasnički Grci osećali su neku vrstu prezira nazivajući je logistikom, terminom koji je ostao da živi u školama koje se bave logikom i osnovama matematike.